Números Irracionais – Números que não podem ser representados como frações

As frações, ou números racionais, consistem em numeradores e denominadores e podem representar as quantidades mais comuns. Entretanto, nem todos os números podem ser escritos como frações. Esses números especiais são conhecidos como números irracionais.

O que são números racionais e irracionais?

Antes de nos aprofundarmos nos números irracionais, vamos primeiro entender o que são números racionais. Os números racionais são números que podem ser escritos na forma

onde:

• p e q são números inteiros.
• q ≠ 0 (o denominador não pode ser zero).

Esses números podem ser decimais finitos (por exemplo, 0,5) ou decimais repetidos (por exemplo, 0,3333… = 1/3). As frações são fáceis de visualizar e são comumente usadas na vida cotidiana. Os exemplos incluem:

• 1/2=0.5
• 3/4=0.75
• 1/3=0.333…

Números irracionais: Números que não podem ser representados como frações

Os números irracionais não podem ser escritos como uma proporção de dois números inteiros. Eles não terminam (terminam) ou se repetem em um padrão previsível quando escritos como decimais. Em termos simples, os números irracionais têm infinitas casas decimais que não se repetem.

Características dos número irracional:

• Eles não podem ser expressos na forma p / q.
• Suas expansões decimais não se repetem e são infinitas.
• Eles existem entre os números racionais na reta numérica.
• Os números irracionais comuns incluem raízes quadradas de quadrados não perfeitos, π (Pi) e e (número de Euler).

Números irracionais famosos

Vamos explorar alguns dos números irracionais mais famosos e sua importância na matemática.

Pi (π)

O Pi é um dos números irracionais mais conhecidos. Ele representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro e é aproximadamente igual a 3,14159, embora continue infinitamente sem se repetir. O Pi é essencial em geometria, trigonometria e física.

π=3.141592653589793…

A natureza irracional do Pi significa que nunca chegaremos a um padrão de repetição, independentemente do número de casas decimais que calcularmos.

Tabela: Valores aproximados de Pi

A raiz quadrada de 2 (√2)

A raiz quadrada de 2 é outro número irracional famoso. Ela representa o comprimento da diagonal de um quadrado com comprimentos laterais de 1 unidade. Esse número surge naturalmente na geometria e é aproximadamente 1,41421356.

Embora saibamos seu valor exato na forma de √2, sua expansão decimal é infinita e não se repete, o que torna impossível expressá-lo como uma fração.

Número de Euler (e)

O número de Euler, denotado como e, é aproximadamente 2,71828. É uma constante fundamental na matemática, especialmente no cálculo, onde é a base dos logaritmos naturais. O número e também é irracional, e sua expansão decimal nunca se repete.

e = 2.718281828459045…

Número Racional vs. Número Irracional: Principais diferenças

Como provar que um número é irracional

Uma das provas mais famosas da matemática é a prova de que √2 é irracional. Aqui está uma versão simplificada dessa prova usando contradição.

Prova: √2 é irracional

Começamos assumindo o oposto – que √2 é racional e pode ser escrito como uma fração a/b , em que a e b são números inteiros sem fatores comuns.

Elevar ambos os lados ao quadrado:

Multiplicando ambos os lados por b²:

  a² = 2b²

Essa equação implica que a² é par (já que é divisível por 2) e, portanto, a deve ser par.

Seja a=2k para algum número inteiro k.

Substituindo a = 2 na equação:

(2k)² = 2b²

4k² = 2b²

b² = 2k²

Isso significa que b² também é par, o que implica que b é par. Mas se a e b forem pares, eles têm um fator comum de 2, o que contradiz nossa suposição de que a e b não têm fatores comuns. Portanto, √2 não pode ser escrito como uma fração e é irracional.

Aplicações dos números irracionais no mundo real

Arquitetura e design

Na construção e no design, números irracionais como π\pi e √2 determinam formas e proporções, especialmente em elementos circulares ou diagonais.

Física

Os números irracionais aparecem com frequência em equações de física, como as que envolvem formas de onda, movimento e relatividade. Por exemplo, π é crucial em fórmulas para calcular a circunferência de círculos, o que é vital em sistemas mecânicos.

Finanças e economia

O número de Euler e é muito usado em finanças, especialmente no cálculo de juros compostos contínuos. A fórmula para juros compostos é:

A=Pe^rt

onde:

• A é o montante de dinheiro acumulado após t anos.
• P é o valor principal.
• r é a taxa de juros.
• e é o número de Euler.

Fatos divertidos e curiosidades sobre número irracional

• A expansão decimal de Pi (π) foi calculada com mais de 31 trilhões de dígitos, mas nenhum padrão de repetição foi encontrado!
• A Proporção Áurea (ϕ), outro número irracional famoso, aparece na natureza, na arte e na arquitetura. Ela é aproximadamente igual a 1,61803.
• Os números irracionais são tão abundantes quanto os racionais na reta numérica, apesar de sua complexidade. A maioria dos números é irracional.

Conclusão

Os números que não podem ser representados como frações, ou números irracionais, formam uma parte fascinante e essencial da matemática. Desde os conhecidos π e √2 até a constante e, esses números têm expansões decimais infinitas e não repetitivas e não podem ser expressos como a razão de dois inteiros.

Embora os números irracionais possam parecer complicados, eles aparecem em nosso mundo cotidiano mais do que imaginamos, seja na construção de estruturas, no cálculo de juros ou no design de formas naturais. Compreender os números irracionais aumenta nosso apreço pela complexidade e beleza da matemática.